CVE-2022-0778漏洞分析与利用：BN_mod_sqrt中的特殊构造

漏洞概述

CVE-2022-0778是OpenSSL中BN_mod_sqrt函数的一个严重漏洞，该漏洞允许攻击者通过构造特殊的输入导致无限循环，从而造成拒绝服务(DoS)。漏洞存在于计算模平方根的算法实现中，当处理某些精心构造的输入时会导致算法无法终止。

数学背景知识

模平方根问题

给定一个奇素数p和整数a，模平方根问题是寻找一个整数x使得：

x² ≡ a mod p

二次剩余

如果上述方程有解，则称a是模p的二次剩余；否则称为二次非剩余。

Tonelli-Shanks算法

Tonelli-Shanks算法是计算模平方根的有效算法，主要步骤如下：

1. 将p-1分解为Q * 2^S，其中Q是奇数
2. 找到一个二次非剩余z
3. 初始化：
   • c ≡ z^Q mod p
   • t ≡ a^Q mod p
   • R ≡ a^((Q+1)/2) mod p
4. 循环直到t ≡ 1 mod p：
   • 找到最小的i使得t^(2^i) ≡ 1 mod p
   • 令b ≡ c^(2^(S-i-1)) mod p
   • 更新R ≡ R*b mod p
   • 更新t ≡ t*b² mod p
   • 更新c ≡ b² mod p
   • 更新S = i

漏洞触发条件

漏洞触发需要构造特殊的a和p，使得在Tonelli-Shanks算法执行过程中：

1. p-1 = Q * 2^S，其中Q是奇数
2. a是模p的二次剩余
3. 在算法执行过程中，t的值变为0 mod p

当t变为0时，算法会进入无限循环，因为永远找不到i使得t^(2^i) ≡ 1 mod p。

构造特殊a和p的方法

方法一：直接构造

1. 选择一个奇素数p
2. 确保p-1可以被2的较大幂次整除（即S较大）
3. 选择a使得在算法执行过程中t会变为0

具体构造示例：

p = 17 (因为16 = 1 * 2^4, S=4)
a = 13

方法二：利用复合模数

更有效的方法是使用复合模数n=p*q，其中p和q都是素数：

1. 选择两个素数p和q，使得：
   • p-1和q-1都有较大的2的幂次因子
   • 例如选择安全素数：p=2q'+1，其中q'也是素数
2. 构造a使得：
   • a是模p的二次剩余
   • 在模p的Tonelli-Shanks算法中会导致t=0
   • a是模q的二次非剩余（这样CRT会失败）

漏洞利用代码示例

以下是构造特殊a和p的Python示例代码：

from Crypto.Util.number import getPrime
import random

def find_special_prime(bits=512):
    while True:
        q = getPrime(bits-1)
        p = 2*q + 1
        if isPrime(p):
            return p

def find_special_a(p):
    while True:
        a = random.randint(2, p-1)
        # 检查a是否是二次剩余
        if pow(a, (p-1)//2, p) == 1:
            return a

# 生成特殊参数
p = find_special_prime()
a = find_special_a(p)

print(f"Special p: {p}")
print(f"Special a: {a}")

OpenSSL中漏洞代码分析

OpenSSL中BN_mod_sqrt的简化逻辑：

BIGNUM *BN_mod_sqrt(BIGNUM *in, const BIGNUM *a, const BIGNUM *p, BN_CTX *ctx) {
    // ... 初始化 ...
    
    if (!BN_mod_exp(t, b, q, p, ctx)) goto end; /* t = b^q mod p */
    
    while (1) {
        if (BN_is_one(t)) {
            // 找到解的情况
            break;
        }
        
        // 寻找最小的i使得t^(2^i) ≡ 1 mod p
        i = 1;
        while (i < e) {
            if (i == 1) {
                if (!BN_mod_sqr(tmp, t, p, ctx)) goto end;
            } else {
                if (!BN_mod_sqr(tmp, tmp, p, ctx)) goto end;
            }
            if (BN_is_one(tmp)) break;
            i++;
        }
        
        // 如果i == e，说明没有找到，这是不应该发生的
        if (i == e) {
            // 这里应该返回错误，但代码可能进入无限循环
            goto end;
        }
        
        // ... 更新变量 ...
    }
    
    // ... 清理和返回 ...
}

实际利用场景

1. 当OpenSSL处理包含恶意构造证书的ASN.1解析时
2. 特别是处理椭圆曲线参数或证书中的显式曲线参数时
3. 攻击者可以构造一个特制的证书，当服务器验证该证书时会触发漏洞

防御措施

1. 升级到修复版本：OpenSSL 1.1.1n, 1.0.2zd及更高版本
2. 在BN_mod_sqrt中添加对t=0的检查
3. 对输入参数进行更严格的验证

总结

CVE-2022-0778漏洞的核心在于Tonelli-Shanks算法实现中对边界条件处理不当。通过深入理解模平方根算法和精心构造输入参数，可以触发这一漏洞。该漏洞的研究不仅具有实际安全意义，也是学习数论算法及其实现安全性的典型案例。