VNCTF 2025 Crypto方向题解：EasyMath

题目概述

这是一道基于模运算和离散对数的密码学题目，要求解一个包含指数和线性项的方程。题目分为两个主要步骤：

1. 计算 k = 5^m mod n
2. 解关于 m 的方程：208 * 5^m - 209 * m * 5^{m-1} = B mod n

解题步骤详解

第一步：计算 k = 5^m mod n

这是一个简单的模指数运算，直接计算即可：

k = pow(5, m, n)

第二步：解关于 m 的方程

原始方程：

208 * 5^m - 209 * m * 5^{m-1} = B mod n

1. 变量替换

令 k = 5^m mod n，则 5^{m-1} = k / 5 mod n

代入方程：

208*k - 209*m*(k/5) = B mod n

2. 消除分母

为了消除分母中的5，我们可以将方程两边乘以5：

(208*5 - 209*m)*k = 5*B mod n

展开后：

208*5*k - 209*m*k = 5*B mod n

3. 解关于 m 的方程

将方程重新排列以解出 m：

209*m*k = 208*5*k - 5*B mod n

解出 m：

m = (208*5*k - 5*B) * inverse(209*k, n) mod n

其中 inverse(209*k, n) 表示 209*k 在模 n 下的乘法逆元。

Python实现示例

from Crypto.Util.number import inverse

def solve_m(B, n):
    # 由于我们不知道m，需要先计算k = 5^m mod n
    # 但是m未知，所以需要另一种方法
    
    # 重新整理方程：208*5*k - 209*m*k = 5*B mod n
    # 可以表示为：(208*5 - 209*m)*k ≡ 5*B mod n
    
    # 由于k = 5^m，我们可以尝试枚举小m值
    # 或者使用更高级的数学方法
    
    # 对于小m值的情况：
    for m in range(1, 1000):
        k = pow(5, m, n)
        lhs = (208 * k - 209 * m * k * inverse(5, n)) % n
        if lhs == B % n:
            return m
    
    # 如果没有找到小m值，可能需要更高级的方法
    # 如使用中国剩余定理(CRT)或其他数论方法
    # 这部分需要根据题目具体参数实现
    
    return None

高级解法：使用中国剩余定理(CRT)

如果题目中给出了多个模数 n 的情况，可以使用中国剩余定理来解：

from sympy.ntheory.modular import crt

# 假设有三个不同的n值和对应的B值
n_values = [n1, n2, n3]
B_values = [B1, B2, B3]

results = []
for n, B in zip(n_values, B_values):
    # 对每个n解方程
    m_candidate = solve_m(B, n)
    results.append((m_candidate, n))

# 使用CRT合并结果
m_values = [r[0] for r in results]
moduli = [r[1] for r in results]
m, _ = crt(moduli, m_values)

关键点总结

1. 变量替换：将 5^m 替换为 k 简化方程
2. 消除分母：乘以5消除分母中的除法运算
3. 模逆元：使用乘法逆元来解线性方程
4. 小值枚举：对于小范围的m值可以直接枚举
5. 中国剩余定理：当有多个模数时，可以合并结果

注意事项

1. 确保所有运算都在模n下进行
2. 计算逆元时要确保参数与模数互质
3. 对于大模数，直接枚举可能不可行，需要更高效的数学方法
4. 实际解题时需要根据题目给出的具体参数调整解法

扩展思考

这道题目展示了如何将复杂的指数方程转化为线性方程来求解。类似的技术可以应用于：

1. 离散对数问题
2. 基于指数的密码系统分析
3. 模运算方程求解

掌握这种将非线性方程线性化的技巧对于解决许多密码学问题都非常有帮助。