多项式RSA与多项式插值在CTF密码学中的应用

多项式RSA

基本概念

在传统RSA中，欧拉函数φ(n) = (p-1)(q-1)，其中n=pq。当我们将这个概念扩展到多项式领域时，情况有所不同。

多项式欧拉函数

对于不可约多项式p(x)，其欧拉函数φ(p(x))的计算方式与传统整数情况不同：

• 在有限域GF(p)上，对于一个n次不可约多项式p(x)，φ(p(x)) = pⁿ - 1
• 这是因为除了0多项式外，所有次数小于n的多项式都与p(x)互素

证明思路：

1. 假设存在一个次数小于n的多项式f(x)与p(x)不互素
2. 设f(x)和p(x)有非常数公因式d(x)
3. 由于p(x)不可约，d(x)只能是p(x)本身或其倍数
4. 但f(x)次数小于p(x)，导致矛盾
5. 因此所有次数小于n的多项式都与p(x)互素
6. 这样的多项式共有pⁿ - 1个（排除0多项式）

例题分析：[watevrCTF 2019]Swedish RSA

解题思路：

1. 识别题目涉及有限域上的多项式运算
2. 应用多项式欧拉函数公式φ(p(x)) = pⁿ - 1
3. 类比传统RSA的计算过程，但在多项式领域实施

多项式插值

基本概念

多项式插值是通过已知的多个点值对(xᵢ, yᵢ)恢复一个次数最低的多项式P(x)，使得P(xᵢ) = yᵢ。

常用方法

1. 拉格朗日插值法：

   • 可以直接使用SageMath的lagrange_polynomial()函数
   • 公式：L(x) = Σ[yᵢ · ℓᵢ(x)]，其中ℓᵢ(x)是拉格朗日基多项式

2. 牛顿插值法：

   • 使用差商表构造插值多项式
   • 适合新增插值点时的增量计算

例题分析：angstrom CTF 2023 - Lazy Lagrange

题目特点：

• 允许用户提交x值获取计算结果或验证系数序列
• 当x=128=2⁷时，多项式值在二进制中按7位分段会直接暴露系数a[j]

两种解法：

1. 直接利用x=128的特性：

   • 提交x=128，输出结果y的二进制表示可以直接分段读出多项式的系数
   • 这是因为P(128) = a₀ + a₁·128 + a₂·128² + ... + aₙ·128ⁿ
   • 在二进制中，各项不会相互干扰（如果系数限制在0-127）

2. 传统插值法（若无输入限制）：

   • 步骤：
     1. 收集足够多的点值对（如x=1,2,3,...）
     2. 使用插值法恢复多项式
     3. 从系数中提取flag信息
   • 示例代码框架：

     # 收集点值对
     points = [(x1, y1), (x2, y2), ...]
     
     # 使用拉格朗日插值
     R.<x> = PolynomialRing(ZZ)
     poly = R.lagrange_polynomial(points)
     
     # 提取系数
     coefficients = poly.coefficients()
     

实际应用技巧

1. 多项式RSA：

   • 识别题目是否涉及多项式而非整数
   • 正确应用多项式欧拉函数公式
   • 注意有限域的选择（GF(p)的特征)

2. 多项式插值：

   • 优先检查是否有特殊x值能直接暴露系数
   • 若无捷径，收集足够点值对进行插值
   • 在SageMath中利用内置函数简化计算

3. 混合题目：

   • 可能同时涉及多项式运算和插值
   • 分步解决：先恢复多项式，再进行相关运算

总结

掌握多项式在密码学中的应用需要理解：

1. 多项式与整数在代数结构上的异同
2. 多项式欧拉函数的特殊性质
3. 插值法的原理和实际应用技巧
4. 相关数学工具（如SageMath）的使用方法

这些知识在CTF密码学题目中经常出现，特别是在涉及抽象代数结构或非传统RSA变种的挑战中。