Gröbner 基学习与CTF题目实践应用

1. 前置知识：单项式序

在多项式环K[x₁,...,xₙ]上，单项式序是满足以下两条性质的全序：

1. 常数多项式为最小元：对任意a ∈ ℕⁿ{0}, 1 < xᵃ
2. 保序性：对任意a,b,c ∈ ℕⁿ, xᵃ < xᵇ ⇒ xᵃ⁺ᶜ < xᵇ⁺ᶜ

对于一元多项式环K[x]，唯一的单项式序是次数序：1 < x < x² < ... < xᵐ < xᵐ⁺¹ < ...

给定单项式序<后，每个多项式f都有唯一的：

• 首项LT_<(f)：f中最大的单项式
• 首项系数LC_<(f)
• 首一单项式LM_<(f)

2. 首项理想

给定多项式环K[x₁,...,xₘ]上的单项式序<和理想I，I的首项理想是由I中所有多项式的首项生成的理想，记为LT(I)。

例子：I = <x₁ + 1>的首项理想是(x₁)

3. Gröbner基的定义与作用

Gröbner基可以：

1. 求解多项式方程组（类似于线性代数中的高斯消元法）
2. 在公钥密码学中求解多变量多项式方程组

直观理解

• 一元线性方程：高斯消元法

  {3x + 2y = 5
  {6x + 4y = 10}
  

  第二个方程是第一个的两倍，实际上只有一个独立方程

• 一元多项式：最大公因式(GCD)

  f₁(x) = x³ - x
  f₂(x) = x² - 1
  

  GCD是x-1，解为x=1

• 多元多项式：Gröbner基提供类似的消元工具

4. 理想(Ideal)的定义

设R[x]是多项式环，理想I = ⟨f₁,f₂,...,fₘ⟩满足：

1. 加法封闭性：f(x)∈I且g(x)∈I ⇒ f(x)+g(x)∈I
2. 乘法封闭性：f(x)∈I且g(x)∈R[x] ⇒ f(x)*g(x)∈I

Gröbner基的重要性质：允许用"除法"操作测试多项式是否属于理想

5. SageMath中的Ideal.groebner_basis()

RSA问题示例

在ℤ/Nℤ下有四个多项式：

x¹⁷ - c₁
y¹⁷ - c₂
z¹⁷ - c₃
x + y + z - s

构造环后求理想I，用I.groebner_basis()求解，输出形式通常为：

x + a₁ = 0
y + a₂ = 0
z + a₃ = 0

通过取模N和取相反数得到解

6. CTF题目应用案例

案例1：LCG + Gröbner basis

题目：Dragon Knight CTF

分析：
LCG生成序列：

x₂ = (x₁ * a + b) mod n
x₃ = (a * (x₁ * a + b) + b) mod n

给定五组输出，有三个未知数a,b,n，构造Gröbner基解方程组

案例2：改进的LCG

题目：LinearEquations

分析：
改进的LCG递推关系：

x₂ = (a·x₁ + b·x₀ + c) mod n
x₃ = (a·x₂ + b·x₁ + c) mod n
x₄ = (a·x₃ + b·x₂ + c) mod n

有三个未知参数a,b,c，同样用Gröbner基求解

7. 结语

• Gröbner基在多项式方程组求解中类似于高斯消元法
• 在密码学CTF中常用于破解RSA变种和LCG
• Ideal.groebner_basis()能有效约化并解多项式理想

附录：实践代码示例

# SageMath示例代码
R.<x,y,z> = PolynomialRing(Zmod(N), order='lex')
I = Ideal(x^17 - c1, y^17 - c2, z^17 - c3, x + y + z - s)
B = I.groebner_basis()
print(B)

通过这种方法可以有效地解决CTF中涉及多项式方程组的密码学问题。